mATERI kULiH kALKuLUS

1.1 SISTEM BILANGAN

Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real itu dan bagaimana sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya diperlukan beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana.

1.1.1 Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional

Diantara sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli. Himpunan bilangan asli biasanya dinyatakan dengan A, namun banyak literatur menggunakan N (natural), yakni:. Jika ke dalam N ditambahkan elemen 0 maka terbentuklah yaitu himpunan bilangan cacah. Selanjutnya, jika himpunan bilangan cacah digabungkan dengan himpunan yang terdiri dari negatif bilangan-bilangan asli maka terbentuklah himpunan bilangan bulat yang biasa dinyatakan dengan B atau Z (Zahlen), yakni . Sehingga seringkali himpunan bilangan asli disebut dengan himpunan bilangan bulat positif.

Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, tegangan listrik dan lain-lain, maka bilangan-bilangan bulat tidak memadai untuk memberi ukuran tersebut. Sehingga hasil bagi (rasio) dari bilangan bulat haruslah dipertimbangkan, yaitu bilangan-bilangan seperti: ; ; ; dan lain-lain. Selanjutnya didefinisikan suatu bilangan yang dinyatakan  dengan p dan q bilangan bulat dan q ¹ 0, disebut bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional biasa dinyatakan dengan Q. Dengan notasi bilangan, dapat dinyatakan sebagai 

Dalam perkembangan, ternyata bilangan rasional tidak cukup untuk menampung semua kebutuhan akan bilangan dalam matematika, tidak mampu mengukur semua ukuran panjang. Dari berbagai sifat bilangan rasional, ternyata ada titik-titik pada garis bilangan yang tidak bias dinyatakan dengan bilangan rasional

Perhatikan  bahwa   merupakan  panjang  sisi miring sebuah  segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 1 satuan.  Bilangan ini tidak dapat  dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat atau  ¹  untuk setiap p, q Î Z dan q ¹ 0, sehingga  bukan bilangan  rasional, demikian juga Ö3, 2Ö5, p, dan lain-lain.